第二章、一阶微分方程的初等解法

[教学目标]

1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。

[教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 14学时

[教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。

[考核目标]

1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。

2.会建立一阶微分方程并能求解。

§1 变量分离方程与变量变换

1、 变量分离方程

1) 变量分离方程

形如

dydx

f(x)g(y ) (或M1(x)N1(y)dx M2(x)N2(y)dy 0) （2.1）

的方程，称为变量分离方程，其中函数f(x)和g(y)分别是x,y的连续函数. 2) 求解方法

如果g(y) 0，方程(2.1)可化为，

dyg(y)

f(x)dx

这样变量就分离开了,两边积分,得到

g(y)

1

dy

f(x)dx c （2.2）

把

dyg(y)

, f(x)dx分别理解为

(y)

,f(x)的某一个原函数.

容易验证由（2.2）所确定的隐函数y (x,c)满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解. 如果存在y0使g(y0) 0，可知y y0也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.

3) 例题