设函数f(x,y)的定义域为D，在D内每一点(x,y)处，画上一小线段，使其斜率恰好为f(x,y)，将这种带有小线段的区域D称为由方程（1.25）所规定的方向场.

在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程（1.25）的等斜线方程为

f(x,y) k （1.26）

例 5

dydx

2x

解 积分曲线族是y x2 c，y 2x 0，即x 0是极值线，y 2x k (k 0, 1, )是

等斜线.

例6（习题7）微分方程4x2y'2 y2 xy3，证明其积分曲线关于坐标原点(0,0)成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线.

证 设L:y f(x),x [a,b]是微分方程的一条积分曲线，则满足 4x2[f'(x2) ]

f

2

x( )xf

3

(x )x, a ] (1.27) [ b,

而L关于(0,0)成中心对称曲线L':y f( x) F(x),x [ b, a], x [a,b]， 所以有F'(x) f'( x), x [ b, a] 当x [ b, a], x [a,b],由(1.27)式可知 4( x2)[f

2

2

2

3

'(x

2

) ]f

2

(x ) xf

3

(x )

即 4x[F'(x)] F(x) xF(x)

所以F(x)满足微分方程，故F(x)为微分方程的积分曲线.并且相对于L关于原点(0,0)成中心对称曲线.