8

29.8 10 8

增长率为1.85%，由Logistic模型.（1.21），有0.0185 0.029 1 ，可得Nm 82.3 10，

Nm

即世界人口容量82.3亿，以（1.21）式右端为二项多项式，以N 增加；当N

Nm2

Nm2

为顶点，当N

8

Nm2

时人口增长率

时人口增长率减少，即人口增长到

Nm2

41.15 10时增长率将逐渐减少.这与人口在

20世纪70年代为40亿左右时增长率最大的统计结果相符.

小结：从以上的讨论可以看出，将实际问题转化为数学模型这一事实，这正是许多应用数学工作者和

工程应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据.以上我们只举出了常微分方程的一些简单的实例,其实在自然科学和技术科学的其它领域中，都提出了大量的微分方程问题.所以说，社会的生产实践是微分方程理论取之不尽的基本源泉.此外，常微分方程与数学的其它分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进.例如，几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具. 考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学基础课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用；.而作为一门数学基础课程，我们又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.因此，在学习中，不应该忽视课程中所列举的实际例子以及有关的习题，并从中注意培养解决实际问题的初步能力.但是，按照课程的要求，我们要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面来，这是本课程的重点，也是我们解决实际问题的必要工具.而解决的过程为：（1）建立方程;（2）求解方程;（3）分析问题.关键的是第一步，即对所研究问题，根据已知定律公式以及某些等量关系列出微分方程和相应的初始条件.如果指出了由微分方程所确定的未知函数的求法，那么未知量间的关系便找到了.寻求微分方程所确定的未知函数是微分方程理论的基本问题.

§2 基本概念

1、常微分方程和偏微分方程

微分方程：将自变量、未知函数以及它的导数联系起来的关系式.

常微分方程： 只含一个自变量的微分方程.

偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程.

方程

dydt

22

b

2

dydt

cy f(t) （1.17）

dy dy

t y 0 （1.18）

dtdt

dydt

2

2

gl

siny 0 （1.19）

是常微分方程的例子，y是未知函数，仅含一个自变量t.

方程

T x

22

T y

2

2

T z

2

2

0 （1.20）

T x

2

2

4

T t

2

2

（1.21）