常微分方程考研讲义(13)

中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.

代回原来的变量，得到原方程的通解为

si cx

xy

例5

求解方程x解 将方程改写为

dydx

y(x 0).

这是齐次方程，以

yx

dydx

dudx

yx

(x 0 )

u,

dydxdudx

x u代入，则原方程变为

x分离变量，得到

（2.11）

两边积分，得到（2.11）的通解

即

2

u [ln (x) c]

dx

x

ln( x) c

(2.12) (l nx( c) 0 )

这里的c是任意常数.此外，（2.11）还有解u 0

注意，此解不包括在通解（2.12）中.

代回原来的变量，即得原方程的通解 y x[ln (x) c]

原方程的通解还可表为 x[ln (x )c

y

0,

2

2

(l nx( )c 及解0y) 0.

], lxn (c )

0,

它定义于整个负半轴上.

注：1.对于齐次方程

dydx

dy

y y

后，解出y ux，再对两边求关 g 的求解方法关键的一步是令u xdxx

于x的导数得 u x

dudx

，再将其代入齐次方程使方程变为关于u,x的可分离方程.

xy

2.齐次方程也可以通过变换v 而化为变量分离方程.这时x vy，再对两边求关于y的导数得

dxdy

v y

dvdy

，将其代入齐次方程

x

f 使方程变为v,y的可分离方程 dy y dx