是偏微分方程的例子，T是未知函数，x,y,z,t是自变量.

微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数. 例如，方程（1.17）、（1.19）是二阶的常微分方程，而方程（1.20）、（1.21）是二阶的偏微分方程. 一般的n阶微分方程具有形式 F(x,y,

dydx

, ,

d

n

y

n

dx

) 0 （1.22）

这里F(x,y,

dydx

, ,

d

n

y

n

dx

)是x、y、

dydx

、 、

d

n

y

n

dx

的已知函数，而且一定含有

d

n

y

n

dx

；y

是未知函数，x是自变量. 2、线性和非线性

如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程.如：

dydt

22

y

dydt

t （1.23）

是非线性微分方程，而（1.17）是一个二阶的线性微分方程. 一般的n阶线性微分方程具有形式

dydx

nn

a1(x)

d

n 1

y

dx

n 1

an 1(x)

dydx

（1.24） an(x)y f(x)

这里a1(x),a2(x), ,an(x),f(x)是x的已知函数. 3、解和隐式解

微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解.即若函数y (x)代入式（1.22）中，使其成为恒等式，称y (x)为方程（1.22）的解.

d

2

例如容易验证y cos x是方程

y

2

dx

2

y 0的解

如果关系式 (x,y) 0决定的隐函数y (x)为方程（1.22）的解，称 (x,y) 0是方程（1.22）的隐式解.例如，一阶微分方程

dydx

xy

有解y

和y ；而关系式x

2

y

2

1是方程的隐式解.

4、通解和特解

通解：具有n个独立的任意常数c1,c2, ,cn的解y (x,c1,c2, ,cn)称为方程（1.22）的通解.

注：所谓函数y (x,c1,c2, ,cn)含有n个独立常数，是指存在(x,c1,c2, ,cn)的某一邻