例1 物体冷却过程的数学模型

将某物体放置于空气中，在时刻t 0时，测得它的温度为u0 150℃，10分钟后测得温度为

u1 100℃.确定物体的温度与时间的关系,并计算20分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为ua 24℃.

解 设物体在时刻t的温度为u u(t),由牛顿(Neweon)冷却定律可得

dudt

k(u ua) (k 0, u ua) (1.1)

这是关于未知函数u的一阶微分方程,利用微积分的知识将(1.1)改为

duu ua

kdt (1.2)

c 为任意常数 两边积分,得到 ln(u ua) kt c

kt

令ec c,进而 u ua ce (1.3)

根据初始条件, 当t 0时, u u0, 得常数c u0 ua

kt

于是 u ua (u0 ua)e (1.4)

10k

再根据条件t 10分钟时,u u1,得到 u1 ua (u0 ua)e

k

110

ln

u0 uau1 ua

将u0 150,u1 100,ua 24代入上式,得到 k

110ln

150 24100 24

110

ln1.66 0.051

从而, u 24 126e

0.051t

(1.5)

由方程(1.5)得知,当t 20分钟时,物体的温度u2 70℃,而且当t 时, u 24℃.

温度与时间的关系也可通过图形表示出来.如图(1.1). 可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的

温度将会没有什么差别了.事实上，经过2小时后，物体的温度已变为24℃，与空气的温度已相当接近.法律破案判断尸体的死亡时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的.