dy

)

ydxm

xN(1,)N(1,)

xx

y

xM(1,

m

y

)M(1,

y

ⅱ)对方程

dydx

f(x,y)

其中右端函数f(x,y)是x和y的零次齐次函数，即对t 0有

f(tx,ty) f(x,y)

则方程也可改写成形如(2.5)的方程

dydx

yx

f(1,

yx)

对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解. 令u 即y ux，于是

dydxdudxdudx

x

du

u （2.7） dx

（2.6）

将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 x整理后，得到

g(u) u

x u g(u)

（2.8）

方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.

例4 求解方程

dydx

yx tgy

yx

dydx

x

dudx

u代入，则原方程变为

解 这是齐次方程，以 x即

分离变量，即有

xdudx

u,

u u tgu

dudx

tgux

（2.9）

ctgudu 两边积分，得到

lnsiu

dxx

l c

是任意的常数，整理后，得到 这里的c

u cx sin （2.10）

此外，方程（2.9）还有解tgu 0,即sinu 0. 如果（2.10）中允许c 0，则sinu 0就包含在（2.10）