例 2 动力学问题

物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.

解 设物体质量为m，空气阻力系数为k，又设在时刻t物体的下落速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为F mg kv2,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据牛顿第二定律得到关系式

m

dvdt

mg kv (1.6)

2

而且, 满足初始条件t 0时,v 0 (1.7)

例 3 电力学问题

在如图(1.2)所示的R L C电路,它包括电感L、电阻R和电容C.设R、L、C均为常数,电源

e(t)是时间t的已知函数,建立当开关K合上后,电流I应满足的微分方程.

解 经过电感L、电阻R和电容C的电压降分别为： L夫第二定律得到

e(t) L因为I

dQdt

dIdt RI

QC

dIdt

、RI和

QC

，其中Q为电量，由基尔霍

（1.8）

，于是有

dIdt

22

RdILdt

ILC

1de(t)L

dt

（1.9）

这就是电流I应满足的微分方程.如果e(t)=常熟，得到

dIdt

22

如果又有R 0，则得到

例 4 人口模型

dIdt

22

RdILdt

ILC

0 （1.10）

ILC

0 （1.11）

英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在1798年提出了闻名于世的Malthus人口模型的基本假设是：

在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为r（生命系数）.

在t到t t这段时间内人口数量N N(t)的增长量为

N(t t) N(t)

N(t)

N(t t) N(t) rN（ ()t tt 1,r ）

于是N(t)满足微分方程