第一章 绪论

[教学目标]

1． 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。 2． 掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。 3． 理解积分曲线和方向场的概念。

[教学重难点] 重点微分方程的基本概念，难点是积分曲线和方向场。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 4学时

[教学内容] 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场；建立常微分方程模型的具体方法。

[考核目标] 常微分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。

§1 微分方程模型

1、微分方程的产生和发展

常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。

300多年前，Newton与Leibniz奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念. 17世纪末到18世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式. 19世纪末到20世纪处,主要研究解的定性理论与稳定性问题.

20世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法. 解析方法:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数.

几何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族. 数值方法:求微分方程满足一定初始条件(或边界)条件的解的近似值的各种方法.

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

2、微分方程模型

微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。