从而，原方程的通解为

x y2( c ly ) 是任意的常数,另外y 0也是方程的解. 这里c

特别的，初值问题

dy

P(x)y Q(x)

dx

y(x) y

00

的解为

x0P( )d x0P( )d y=ce e

x

x

xx0

Q(s)e

x0P( )d

s

ds

例3 试证

（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；

（2）若y y(x)是（2.3）的非零解，而y y(x)是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为

y cy(x) y(x)，其中c为任意常数.

（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证 （1）设y1,y2是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使

dy1

py1 Q(x) py2 Q(x)

(1)

dxdy2dx

(2)

（1）—（2）有

d(y1 y2)

dx

p(y1 y2)

说明非齐线性方程任意两个解的差y1 y2是对应的齐次线性方程的解.

（2）因为 d(cy(x) y(x))

dx

c

dy(x)dx

d y(x)dx

p((cy) p y Q(x) p(cy y) Q(x)

故结论成立.

（3）因为故结论成立.

d(cy)dx

p(cy),

d(y1 y2)

dx

p(y1 y2),

d(y1 y2)

dx

p(y1 y2)

3、Bernoulli方程

形如

dydx

P(x)y Qx(y) （ n 0,1） （2.38）

n

的方程，称为伯努利（Bernoulli）方程，这里P(x),Q(x)为x连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化