常微分方程考研讲义(20)

先求对应的齐次方程

dydx

nx 1

y e(x 1) （2.33）

xn

的通解，得

dydx

nx 1

y 0

n

y c(x 1)

n令 y c(x)( （2.34） x1)

微分之，得到

dydx

dc(x)dx

(x 1) n(x 1)c(x) （2.35）

n

以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得

c(x) ex c

将其代入公式（2.34），即得原方程的通解

x ) y (x 1n)e( c

是任意的常数. 这里c

例2 求方程

dydx

y2x y

2

的通解.

解 原方程改写为

dxdy

2y

x y （2.36）

把x看作未知函数，y看作自变量，这样，对于x及

先求齐线性方程

的通解为

dxdy

2yx

dxdy

来说，方程（2.36）就是一个线性方程了.

x cy （2.37）

令x c(y)y,于是 代入（2.36），得到

c c(y) l

dxdy

dc(y)dy

y 2c(y)y

2

2

2