若Q(x) 0，（2.28）变为 称为一阶齐线性方程.

若Q(x) 0，（2.28）称为一阶非齐线性方程.

dydx

P(x)y （2.3）

2、常数变易法

（2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为 y ce 这里c是任意的常数.

下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法.

方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中c恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, c不再是常数,将是x的待定函数c(x),为此令

y c(x)e 两边微分，得到

dydx

dc(x) P(x

edx

)dx

P(x)dx

（2.4）

P(x)dx

（2.29）

c(x)P(x)e

Px(dx)

（2.30）

将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到

即

积分后得到

P(x)dx

（2.31） c(x) Q(x)e dx c

dc(x) P(x

edx

)dx

c(x)P(x)e

Px(dx)

P(x)c(x)e

Pxdx()

Q(x)

dc(x)dx

P(x)dx

Q(x)e

是任意的常数..将（2.31）代入（2.29）这里c，得到

P(x

y e

)dx

P Q(x)e P

e

x(dx)

x(dx)

=ce

P(x)dx

dx c

xdx()

（2.32） dx

P Q(x)e

这就是方程（2.28）的通解.

这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程.

注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和. 例1 求方程(x 1)解 将方程改写为

dydx

ny e(x 1)

x

n 1

的通解，这里的n为常数.