将上式改写为

dNdt

rN （1.12）

dNN

rdt

于是变量N和t被“分离”，两边积分得 lnN rt c

N cert （1.13）

c

其中c e为任意常数.（因为N 0也是方程（1.17）的解.

如果设初始条件为

t t0时,N(t) N0 （1.14） 代入上式可得c N0e

rt0

，.即方程（1.17）满足初值条件（1.19）的解为

r(t t0)

N(t) N0e

（1.15）

如果r 0，上式说明人口总数N(t)将按指数规律无限增长.将时间t以1年或10年离散化，那么可以说，人口数是以er为公比的等比数列增加的.

当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的.但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实；环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus模型在N(t)很大时是不合理的.

荷兰生物学家Verhulst引入常数Nm（环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所容纳的最大人口 N(t) 数，并假设净相对增长率为r 1 ，即净相对增长率随N(t)的增加而减少，当N(t) Nm时，净

Nm

增长率 0.

按此假定，人口增长的方程应改为

dN

N r 1 N （1.16）dtNm

rN

2

这就是Logistic模型.当Nm与N2

Nm

与rN相比可以忽略，则模型变为Malthus模型；但Nm

与N相比不是很大时，

rN

Nm

这一项就不能忽略，人口增长的速度要缓慢下来.我们用Logistic模型.来预测

地球未来人数，某些人口学家估计人口自然增长率为r 0.029,而统计得世界人口在1960年为29.8亿，