令

x X 1 y Y 2

代入方程（2.17），则有 再令

u 则（2.18）化为

两边积分，得

lnX因此

X2(u2 2u 1) ec 记 e c1,并代回原变量，就得

2

Y 2XY X

2

dYdXY

X X

Y

Y

（2.18）

X

即 Y uX

dXX

1 u1 2u u

2

du

2

2 lnu 2u 1 c

c

c1

22

(y 2) 2(x 1)(y 2) (x 1) c1

此外，易验证

u2 2u 1 0 即

Y 2XY X也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为

y 2xy x 6y 2x c 其中c为任意的常数.

2

2

22

0

3、 应用举例

例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的R C电路，开始时电容C上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关K合上“1”后，电池E就对电容C充电，电容C两端的电压uC逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关K合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容C两端的电压uC随时间t的变化规律.

解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，

uc RI

E （2.19）

对于电容C充电时，电容上的电量Q逐渐增多，根据Q CuC，得到