常微分方程考研讲义(15)

则（2.14）化为

X x Y y

（2.15）

a1X b1Y 0

a2X b2y 0

从而（2.13）变为

dYdX

Y g （2.16）

a2X b2Y X a1X b1Y

因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：

(1)解联立代数方程（2.14），设其解为x ,y ； (2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）； (3)再经变换u

YX

将（2.16）化为变量分离方程；

(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解. 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型 此外，诸如

dydx

f(ax by c)

dy

ax b y 1c1

f 1 dx a2x b2y c2

y(xy)d x x

2

x(gx)y d y0 f(xy)

dydx

以及

dy

y

xf 2 dx x

M(x,y)(xd xyd )y dx(N,x)y( xdy y)

（其中M,N为x,y的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.

例6 求解方程

dydx

x x

y1 y3

（2.17）

解 解方程组

x y 1 0 x y 3 0

得x 1,y 2.