π

因此，异面直线BC与AE所成的角的大小是4

15.[2012·北京卷] 如图1－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图1－8(2)．

(1)求证：A1C⊥平面BCDE；

(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

(3)线段BC上是否存在点

与平面A1BE垂直？说明理由．

1－9

解：(1)证明：因为AC⊥BC，DE∥BC， 所以DE⊥AC，

所以DE⊥A1D，DE⊥CD， 所以DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C. 又因为A1C⊥CD，

所以A1C⊥平面BCDE.

(2)如右图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz， 则A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,13)，B(3,0,0)，E(2,2,0)． 设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则 →→n·A1B＝0，n·BE＝0. →→

又A1B＝(3,0，－23)，BE＝(－1,2,0)，

3x－23z＝0，所以

－x＋2y＝0.

令y＝1，则x＝2，z＝3， 所以n＝(2,13)．

设CM与平面A1BE所成的角为θ，

→

因为CM＝(0,13)，

→ n·42→CM所以sinθ＝|cos(n，CM)|＝ ＝

8×42 |n||CM| π

所以CM与平面A1BE所成角的大小为.

4

(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下： 假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p∈[0,3]． 设平面A1DP的法向量为m＝(x，y，z)，则