又因为MN 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD. 方法二：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，得 AC＝AB＝BC＝CD＝DA，BD＝3AB. 又因为PA⊥平面ABCD，所以 PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥AD. 所以PB＝PC＝PD. 所以△PBC≌△PDC.

而M，N分别是PB，PD的中点，所以

11

MQ＝NQ，且AM＝PB＝PD＝AN.

22

取线段MN的中点E，连结AE，EQ，则 AE⊥MN，QE⊥MN，

所以∠AEQ为二面角A－MN－Q的平面角． 由AB＝3，PA＝6，故

1

在△AMN中，AM＝AN＝3，MN＝BD＝3，得

2

33AE＝.

2

在直角△PAC中，AQ⊥PC，得 AQ＝2，QC＝2，PQ＝4.

PB2＋PC2－BC25

在△PBC中，cos∠BPC＝＝，

2PB·PC6

得MQ＝PM＋PQ－2PM·PQcos∠BPC5.

在等腰△MQN中，MQ＝NQ5，MN＝3，得

11

QEMQ－ME＝23311

在△AEQ中，AE，QE＝AQ＝22，得

22

AE2＋QE2－AQ233

cos∠AEQ＝.

2AE·QE33

33

所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为.

33

5[2012·天津卷] 如图1－4所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.

(1)证明PC⊥AD；

(2)求二面角A－PC－D的正弦值；

(3)设E与棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

方法二：(1)由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD. 又由AD⊥AC，PA∩AC＝A，故AD⊥平面PAC， 又PC 平面PAC，所以PC⊥AD.

(2)如图所示，作AH⊥PC于点H，连接DH.

由PC⊥AD，PC⊥AH，可得PC⊥平面ADH，因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A

－PC－D的平面角

在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝1，由此得AH2. 5

230AD30

由(1)知AD⊥AH.故在Rt△DAH中，DHAD＋AH＝因此sin∠AHD＝5DH6

30

所以二面角A－PC－D.

6

(3)如图所示，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF.故∠EBF

CD所成的角．

由BF∥CD，故∠AFB＝∠ADC. 在Rt△DAC中，CD＝5，sin∠ADC故sin∠AFB1， 1 . 5

BFAB1

在△AFB中，由AB＝

sin∠FABsin∠AFB2

sin∠FAB＝sin135°＝，可得BF＝.

22

1

由余弦定理，BF2＝AB2＋AF2－2AB·AF·cos∠FAB，可得AF＝.

2

设AE＝h.

在Rt△EAF中，EFAE＋AF＝h2.

4在Rt△BAE中，BEAE＋AB＝h2.

2

BE2＋BF2－EF2

在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF＝30°，由余弦定理得cos30°＝2BE·BF

10

可解得h＝.

10

10

所以AE.

10

6 。[2012·四川卷] 如图

1－4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，求异面直线A1M与

90° [解析] 因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，故A1在平面CDD1C1上的射影为D1， 即A1M在平面CDD1C1上的射影为D1M，

1

而在正方形CDD1C1中，由tan∠DD1M＝tan∠CDN＝，

2

可知D1M⊥DN，

由三垂线定理可知，A1M⊥DN.