AAAB∽Rt△B1A1A.因此，即AA2A1B1＝8，得AA1＝2. 1＝AD·ADAA1

从而A1DAA1＋AD＝2所以，在Rt△A1DD1中，

DDAA6

cos∠A1DD1＝.

A1DA1D3

13. [2012·上海卷] 如图1－2所示，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2，若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a、c为常数，求四面体

ABCD的体积的最大值。

[解]

作BE垂直AD于E，连接CE，则CE也垂直AD，且BE＝CE，

12

所以四面体ABCD的体积V△BCE·AD＝cBE－1

33

在三角形ABD中，AB＋BD＝2a，AD＝2c， 所以AD边上的高BE等于以AD为焦点，

长轴为2a的椭圆上的点到x轴的距离，其最大值刚好在点在短轴端点的时候得到，

22

即BEa－c，所以V＝BE－1≤ca－c－1.

33

14. 如图1－3所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD.E是PC的中点，已知AB＝2，AD＝22，PA＝2，求：

(1)三角形PCD的面积；

(2)异面直线BC与AE所成的角的大小．

解：(1)因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD. 又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD. 从而CD⊥PD.

因为PD＝22＋ 22 2＝3，CD＝2.

所以三角形PCD的面积为×2×3＝23.

2

(2 取PB中点F，连接EF、AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角．

在△AEF中，由EF2、AF是等腰直角三角形，

π

所以∠AEF＝.

4