11.[2012·陕西卷] (1)如图1－6所示，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真；

(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．

解：(1)证法一：如下图，过直线b上任一点作平面π的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c＝λb＋μn，则a·c＝a·(λb＋μn)＝λ(a·b)＋μ(a·n)，

因为a⊥b，所以a·b＝0，

又因为aπ，n⊥π，所以a·n＝0， 故a·c ＝0，从而a⊥c.

证法二：如图，记c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO⊥π，垂足为O，则O∈c.

∵PO⊥π，aπ，∴直线PO⊥a， 又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，

∴a⊥平面PAO，又c平面PAO

(2)逆命题为：a是平面π(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.

逆命题为真命题． 12.[2012·重庆卷] 如图1－2，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．

(1)求点C到平面A1ABB1的距离；

(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C

的平面角的余弦值．

解：(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB.又CD⊥AA1，故CD⊥面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为

CDBC－BD

＝(2) 如图，取D1为A1B1的中点，111∥CC1.又由(1)知CD⊥面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角．

因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1

⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD