在Rt△OCF中，cos∠COF＝

OF3h＝＝63， OC（＋1）h

故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1＝2(6－3)2－1＝17－12 2. 19.

19．[2013·湖北卷] 如图1－6所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；

→1→

(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足DQ＝CP.记直线PQ与平面

2ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E－l－C的大小为β，求证：sin θ＝sin αsin β

.

图1－6

解： (1)直线l∥平面PAC，证明如下：

联结EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.

又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以直线l∥平面

PAC.

(2) (综合法)如图①，联结BD，由(1)可知交线l即为直线BD，且l∥AC. 因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC. 已知PC⊥平面ABC，而l平面ABC，所以PC⊥l， 而PC∩BC＝C，所以l⊥平面PBC.

联结BE，BF，因为BF平面PBC，所以l⊥BF，故∠CBF就是二面角E－l－C的平1→1→

面角，即∠CBF＝β.由DQ＝CP，作DQ∥CP，且DQ＝22

联结PQ，DF，因为F是CP的中点，CP＝2PF，所以DQ＝PF，从而四边形DQPF是

平行四边形，PQ∥FD.

联结CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF＝θ.又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF为锐角，故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF＝α，于是在Rt△DCF，Rt△FBD，