→→m·A1D＝0，m·DP＝0. →→

又A1D＝(0,2，－23)，DP＝(p，－2,0)，

2y－23z＝0，所以

px－2y＝0.

令x＝2，则y＝p，z＝p 2，p所以m＝. 3

平面A1DP⊥平面A1BE，当且仅当m·n＝0，

即4＋p＋p＝0.

解得p＝－2，与p∈[0,3]矛盾．

所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直． 16. [2012·湖北卷] 如图1－7所示，∠ACB＝45°，BC＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连结AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC＝90°(如图1－8)．

(1)当BD的长为多少时，三棱锥A－BCD的体积最大？

(2)当三棱锥A－BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

p

图1－8

由(1)知，当三棱锥A－BCD的体积最大时，BD＝1，AD＝CD＝2. 如图(b)，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF∥AD. 由(1)知AD⊥平面BCD，所以MF⊥平面BCD.

如图(c)，延长FE至P点使得FP＝DB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形， 所以DP⊥BF.取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN∥DP， 所以EN⊥BF，因为MF⊥平面BCD，又EN 平面BCD，所以MF⊥EN. 又MF∩BF＝F，所以EN⊥面BMF，又BM 面BMF，所以EN⊥BM. 因为EN⊥BM当且仅当EN⊥BF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的．

1

即当DN＝(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)，EN⊥BM.

2

5

连结MN，ME，由计算得NB＝NM＝EB＝EM＝

2

所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形． 如图(d)所示，取BM的中点G.连结EG，NG，

则BM⊥平面EGN，在平面EGN中，过点E作EH⊥GN于H， 则EH⊥平面BMN.故∠ENH是EN与平面BMN所成的角．

在△EGN中，易得EG＝GN＝NE＝EGN是正三角形，

2

故∠ENH＝60°，即EN与平面BMN所成角的大小为60°.