7 [2012·湖南卷] 如图1－6，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

(1)证明：CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

解： (1)如下图(1)，连结AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°得AC＝5.又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE.因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD.而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

(2)过点B作BG∥CD，分别与AE、AD相交于点F，G，连结PF.

由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．

PABF

由题意∠PBA＝∠BPF，因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝PA＝BF.

PBPB

由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC，又BG∥CD， 所以四边形BCDG是平行四边形．故GD＝BC＝3. 于是AG＝2.

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以

AB21685BGAB＋AG＝5，BF＝.

BG255

8于是PA＝BF.

5

11

又梯形ABCD的面积为S＝(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝

23

×S×PA＝

18×16×3515

8.2012·广东卷] 如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

(1)证明：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝1，AD＝2

PC⊥平面BDE

PC⊥BD. 证明：(1)

BD 平面BDE