50题综合法解立体几何及详解答案(19)

设平面A1BC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则 → A1B＝0， n·

→ A1C1＝0. n·

3y－4z＝0，即 4x＝0.

令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0，4，3)．

同理可得，平面B1BC1的一个法向量为m＝(3，4，0)． n·m16

所以cos〈n，m|n||m|25由题知二面角A1－BC1－B1为锐角， 16

所以二面角A1－BC1－B125

→→

(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BD＝λBC1. 所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)． 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ. →

所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)． →→

由AD·A1B＝0，即9－25λ＝0， 9

解得λ＝.

25

9

[0，1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.

25此时，27.

[2013·辽宁卷] 如图1－4，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点． (1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．

BD9

＝λ＝. BC125

图1－4 解： (1)证明：由AB是圆的直径，得AC⊥BC. 由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC. 又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC， 所以BC⊥平面PAC. 因为BC平面PBC，