17 已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上．若PA，PB，PC两两相互垂直，求球心到截面ABC的距离 ．

[解]

由已知条件可知，以PA，PB，PC为棱可以补充成球的内接正方体， 故而PA2＋PB2＋PC2＝(2R)2, 由已知PA＝PB＝PC, 得到PA＝PB＝PC＝2,

11

因为VP－ABC＝VA－PBC h·S△ABC＝PA·S△PBC,

33

23

得到h＝3，故而球心到截面ABC的距离为R－h＝33

18. [2013·安徽卷] 如图1－5，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.

(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面； (2)求cos∠

COD.

图1－5

解：(1)证明：设面PAB与面PCD的交线为l，

因为AB∥CD，AB不在面PCD内，所以AB∥面PCD. 又因为AB面PAB，面PAB与PCD的交线为l， 所以AB∥l，

由直线AB在底面上而l在底面外可知， l与底面平行．

(2)设CD的中点为F，连接OF，PF.

由圆的性质，∠COD＝2∠COF，OF⊥CD. 因为OP⊥底面，CD底面，所以OP⊥CD， 又OP∩OF＝O，故CD⊥面OPF.

又CD面PCD.因此面OPF⊥面PCD.从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，故∠OPF为OP与面PCD所成的角．由题设，∠OPF＝60°.

设OP＝h，则OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 603h.

OPh

根据题设有∠OCP＝22.5°，得OC＝＝.

tan∠OCPtan 22.5°

2tan 22.5°

由1＝tan45°＝和tan 22.5°>0，可解得tan 22.5°＝2－1，

1－tan2 22.5°因此OC＝

h

＝(2＋1)h. 2－1