(2)解法一：

联结A1P，过A作AE⊥A1P于E，过E作EF⊥A1M于F，联结AF. 由(1)知，MN⊥平面AEA1，所以平面AEA1⊥平面A1MN. 所以AE⊥平面A1MN，则A1M⊥AE. 所以A1M⊥平面AEF，则A1M⊥AF.

故∠AFE为二面角A－A1M－N的平面角(设为θ)．

设AA1＝1，则由AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，有∠BAD＝60°，AB＝2，AD＝1.

又P为AD的中点，所以M为AB中点， 1

且AP＝，AM＝1，

2所以，在Rt△AA1P中，A1P＝

Rt△A1AM中，A1M＝2. 2

AA1·AP1AA1·AM1

从而AE＝AF＝＝，

A1PA1M52AE2

所以sinθ.

AF5所以cosθ＝

1－sinθ2

22

1－ ＝5 5

15. 5

故二面角A－A1M－N的余弦值为

23. [2013·新课标全国卷Ⅱ] 如图1－3所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝

2

AB. 2

(1)证明：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．

图1－3

解：(1)证明：联结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．

又D是AB中点，联结DF，则BC1∥DF.