因为PB⊥平面ABQ，所以AB⊥PB.又BP∩BQ＝B，

图1－5

所以AB⊥平面PBQ.由(1)知AB∥GH，所以GH⊥平面PBQ.又FH平面PBQ，所以GH⊥FH.同理可得GH⊥HC，所以∠FHC为二面角D－GH－E的平面角．

设BA＝BQ＝BP＝2.联结FC，

在Rt△FBC中，由勾股定理得FC＝2，在Rt△PBC中，由勾股定理得PC＝5.又H155

为△PBQ的重心，所以HC＝PC.同理FH＝.

333

55

－2994

在△FHC中，由余弦定理得cos∠FHC＝－.即二面角D－GH－E的余弦值

552×94为－.

5

22. [2013·四川卷] 如图1－7所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．

(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；

(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．

图1－

7

解：(1)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.

由已知，AB＝AC，D是BC的中点． 所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.

因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.

又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交， 所以直线l⊥平面ADD1A1.