在Rt△A1DD1中，DD1＝4，A1D1＝2，解得

5

sin∠D1DA1＝，

5π5＋∠D1DA1 ＝－cos∠ADA1＝cos 2 5

5

即二面角A－BC－A1的余弦值为－5

10.[2012·山东卷] 在如图1－5所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.

(1)求证：BD⊥平面AED；

(2)求二面角F－BD－C的余弦值．

解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°， 所以∠ADC＝∠BCD＝120°. 又CB＝CD， 所以∠CDB＝30°， 因此∠ADB＝90°，AD⊥BD， 又AE⊥BD，

且AE∩AD＝A，AE，AD 平面AED， 所以BD⊥平面AED. (2)解法一：

取BD的中点G，连接CG，FG， 由于CB＝CD，因此CG⊥BD，

又FC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD， 所以FC⊥BD，

由于FC∩CG＝C，FC，CG 平面FCG， 所以BD⊥平面FCG， 故BD⊥FG，

所以∠FGC为二面角F－BD－C

在等腰三角形BCD中，由于∠1

因此CG＝CB.

2

又CB＝CF，

所以GF＝CG＋CF＝5CG，

5

故cos∠FGC＝，

5

因此二面角F－BD－C的余弦值为5