图1－

2

证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.

因为EF平面ABC，AB平面ABC， 所以EF∥平面ABC.

同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E， 所以平面EFG∥平面ABC.

(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB， 又AF平面SAB，AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC.

因为BC平面SBC，所以AF⊥BC.

又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB平面SAB，所以BC⊥平面SAB. 因为SA平面SAB，所以BC⊥SA. 26

[2013·北京卷] 如图1－7，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.

(1)求证：AA1⊥平面ABC；

(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；

BD

(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求

BC117．解：(1)证明：因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC， 所以AA1⊥平面

ABC.

(2)由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB.

由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.

如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则 B(0，3，0)，A1(0，0，4)，B1(0，3，4)，C1(4，0，4)．