1.[2012·全国卷] 如图1－1，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝22，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.

(1)证明：PC⊥平面BED； (2)设二面角A－PB－C为90°

解 ：(1)因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC， 又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.

设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝2，

3

PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝，FC2，

3

PCAC

从而6＝6.

FCECPCAC

因为＝，∠FCE＝∠PCA，

FCEC

所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°， 由此知PC⊥EF.

PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED. (2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足． 因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC. 又平面PAB∩平面PBC＝PB， 故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.

BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PDPA＋AD＝2.

设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD 平面PBC，BC 平面PBC，故AD∥平面PBC，A、D两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2.

d1

设PD与平面PBC所成的角为α，则sinαPD2

所以PD与平面PBC所成的角为30°

.

2[2012·江苏卷] 如图1－4，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE.

证明：(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC， 又AD 平面ABC，所以CC1⊥AD.

又因为AD⊥DE，CC1，DE 平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1.又AD 平面ADE，