2014高考数学一轮汇总训练《导数的实际应用 》理(7)

2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+课后实战题,含详解及2013模拟题)

11 11111当x＝f(x)取最小值f ＝－ln

aa

aa aa

a

于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当 1

aa

11

－ln

a

令g(t)＝t－tln t，则g′(t)＝－ln t.

当0<t<1时，g′(t)>0，g(t)单调递增；当t>1时，g′(t)<0，g(t)单调递减． 1

故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当＝1，即a＝1时，①式成立．

a

综上所述，a的取值集合为{1}． —————

————————————— 不等式恒成立问题的求解方法

(1)由不等式恒成立求解参数取值范围问题常采用的方法是分离参数求最值，即要使

a≥g(x)恒成立，只需a≥g(x)max，要使a≤g(x)恒成立，只需a≤g(x)min.另外，当参数不宜

进行分离时，还可直接求最值建立关于参数的不等式求解，例如，要使不等式f(x)≥0恒成立，可求得f(x)的最小值h(a)，令h(a)≥0即可求出a的取值范围．

(2)参数范围必须依靠不等式才能求出，求解参数范围的关键就是找到这样的不等式．

2．已知f(x)＝(x－a)e，a∈R. (1)若a＝3，求f(x)的单调区间和极值；

(2)已知x1，x2是f(x)的两个不同的极值点，且|x1＋x2|≥|x1x2|，求实数a的取值集合

2

x

M；

323

(3)在(2)的条件下，若不等式3f(a)<a＋a－3a＋b对于a∈M都成立，求实数b的取

2值范围．

解：(1)∵a＝3，∴f(x)＝(x－3)e.

令f′(x)＝(x＋2x－3)e＝0 x＝－3或x＝1. 当x∈(－∞，－3)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；

2

2

x

x

x∈(－3,1)时，f′(x)<0，

∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)； 单调递减区间为(－3,1)． ∴f(x)的极大值为f(－3)＝6e； 极小值为f(1)＝－2e.

(2)令f′(x)＝(x＋2x－a)e＝0，即x＋2x－a＝0，

2

－3

x2