2014高考数学一轮汇总训练《导数的实际应用 》理(12)

2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+课后实战题,含详解及2013模拟题)

ln x＋k

[解] (1)由f(x)＝ e

1－kx－xln x

得f′(x)＝x∈(0，＋∞)，

xex

由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1. (2)由(1)得f′(x)＝

1

－x－xln x)，x∈(0，＋∞)， xe令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，

当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0. 又e>0，所以x∈(0,1)时，f′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.

因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)证明：因为g(x)＝(x＋x)f′(x)， 所以g(x)＝

2

x

x＋1

e

x

－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．

－2

因此对任意x>0，g(x)<1＋e等价于 e－2

1－x－xln x<＋e)．

x＋1

由(2)h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)， 所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e)，

－2

x

x∈(0，＋∞)，

因此当x∈(0，e)时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减． 所以h(x)的最大值为h(e)＝1＋e，

故1－x－xln x≤1＋e.设φ(x)＝e－(x＋1)． 因为φ′(x)＝e－1＝e－e，

所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增， φ(x)>φ(0)＝0，

故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝e－(x＋1)>0， e即x＋1

e－2

所以1－x－xln x≤1＋e<＋e)．

x＋1

－2－2

－2

－2

－2

－2

x

xx0

x

x

x

因此对任意x>0，g(x)<1＋e. [题后悟道]

1．本题中证明x>0时，g(x)<1＋e，即证明函数g(x)在(0，＋∞)上的最大值小于1

－2

－2