2014高考数学一轮汇总训练《导数的实际应用 》理(13)

2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+课后实战题,含详解及2013模拟题)

＋e，从而将问题转化为求函数g(x)在(0，＋∞)上的最大值问题，使问题得以顺利解决．

2．一般地，证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)．

证明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)．

[变式训练]

(2012²辽宁高考)设f(x)＝ln(x＋1)x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线

－2

y＝f(x)与直线y在(0,0)点相切．

(1)求a，b的值；

(2)证明：当0<x<2时，f(x)<

9x

x＋6

32

解：(1)由y＝f(x)过(0,0)点，得b＝－1. 3

由y＝f(x)在(0,0)点的切线斜率为，

2又y′|x＝0＝

3 11a

x＋1 x＝0＝2＋a，得a＝0.

2x＋1

(2)证明：法一：由均值不等式，当x>0时， 2x＋1²1<x＋1＋1＝x＋2，故x＋1<＋1.

2记h(x)＝f(x)－

1

9x

，则 x＋61

54

x

h′(x)＝＋x＋1x＋1x＋6＝

2＋x＋154

2x＋1x＋63

2

<

x＋654

－

4x＋1x＋62

x＋6－216x＋1＝2

4x＋1x＋6令g(x)＝(x＋6)－216(x＋1)，则当0<x<2时，

3

g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.

因此g(x)在(0,2)内是递减函数．又由g(0)＝0，得

g(x)<0，所以h′(x)<0.

因此h(x)在(0,2)内是递减函数．又h(0)＝0，