2014高考数学一轮汇总训练《导数的实际应用 》理(6)

2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+课后实战题,含详解及2013模拟题)

x＝ln a.

当x<ln a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln a时，

f′(x)>0，f(x)单调递增，故当x＝ln a时，f(x)取最小值 f(ln a)＝a－aln a.

于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当

a－aln a≥1.①

令g(t)＝t－tln t，则g′(t)＝－ln t.

当0<t<1时，g′(t)>0，g(t)单调递增；当t>1时，g′(t)<0，g(t)单调递减． 故当t＝1时，g(t)取最大值g(1)＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立． 综上所述，a的取值集合为{1}． (2)由题意知，k＝

fx2－fx1ex2－ex1

＝－a，

x2－x1x2－x1

x

令φ(x)＝f′(x)－k＝e－φ(x1)＝－φ(x2)＝

ex2－ex1

，则

x2－x1

ex1 x－x

[e21－(x2－x1)－1]， x2－x1

ex2 x－x

[e12－(x1－x2)－1]． x2－x1

t

t

令F(t)＝e－t－1，则F′(t)＝e－1.

当t<0时，F′(t)<0，F(t)单调递减；当t>0时，

F′(t)>0，F(t)单调递增．

故当t≠0时，F(t)>F(0)＝0，即e－t－1>0. 从而e2e1又

x－x

2

t

x－x

1

－(x2－x1)－1>0，

－(x1－x2)－1>0，

ex1ex2

>0，>0， x2－x1x2－x1

所以φ(x1)<0，φ(x2)>0.

因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，

x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立．

若将函数“f(x)＝e－ax，a>0”改为“f(x)＝e－x，a≠0”，试解决问题(1)． 解：若a<0，则对一切x>0，f(x)＝e－x<1，这与题设矛盾．又a≠0，故a>0. 11ax

而f′(x)＝ae－1，令f′(x)＝0得x＝.

ax

x

ax

aa

1111

当x时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>f′(x)>0，f(x)单调递增．故

aaaa