2014高考数学一轮汇总训练《导数的实际应用 》理(3)

2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+课后实战题,含详解及2013模拟题)

答案：(－∞，0)

[例1] (2012²福建高考)已知函数f(x)＝e＋ax－ex，a∈R.

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)的单调区间； (2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

[自主解答] (1)由于f′(x)＝e＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率

x

x

2

k＝2a＝0，

所以a＝0，即f(x)＝e－ex.

此时f′(x)＝e－e，由f′(x)＝0得x＝1.

当x∈(－∞，1)时，有f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)＞0. 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．

(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)， 令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线y＝f(x)只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．

因为g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝e－ex0＋2a(x－x0)． ①若a≥0，当x＞x0时，g′(x)＞0， 则x＞x0时，g(x)＞g(x0)＝0；

当x＜x0时，g′(x)＜0，则x＜x0时，g(x)＞g(x0)＝0.故g(x)只有唯一零点x＝x0. 由P的任意性知，a≥0不合题意．

②若a＜0，令h(x)＝e－ex0＋2a(x－x0)，则

x

x

x

x

h(x0)＝0，h′(x)＝ex＋2a.

令h′(x)＝0，得x＝ln(－2a)，记x＝ln(－2a)，则当x∈(－∞，x)时，h′(x)＜0，从而h(x)在(－∞，x)内单调递减；当x∈(x，＋∞)时，h′(x)＞0，从而h(x)在(x，＋∞)内单调递增．

a．若x0＝x，由x∈(－∞，x)时，g′(x)＝h(x)＞h(x)＝0；由x∈(x，＋∞)时，g′(x)＝h(x)＞h(x)＝0.所以g(x)在R上单调递增．

所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x.

b．若x0＞x，由于h(x)在(x，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x，x0)时，

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