2014高考数学一轮汇总训练《导数的实际应用 》理(21)

2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+课后实战题,含详解及2013模拟题)

(2)若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)>m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， ∵f′(x)＝x＋e－(e＋xe)＝x(1－e)， 若x<0，则1－e>0，所以f′(x)<0； 若x>0，则1－e<0，所以f′(x)<0； ∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数， 即f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减， ∴f(x)min＝f(2)＝2－e.

∴m<2－e时，不等式f(x)>m恒成立． 2．设函数f(x)＝(x－a)ln x，a∈R. (1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；

(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e成立(注：e为自然对数的底数)．

解：(1)对f(x)求导，得 x－af′(x)＝2(x－a)ln x＋

2

2

2

2

2

xxxx

x

x

x

＝(x－a) 2ln x＋1－.

因为x＝e是f(x)的极值点，所以f′(e)＝(e－a)² 3－ ＝0，解得a＝e或a＝3e.

e 经检验符合题意，所以a＝e或a＝3e.

(2)(ⅰ)当0<x≤1时，对于任意的实数a，恒有

ax

a

f(x)≤0<4e2成立．

(ⅱ)当1<x≤3e时，由题意，

f(3e)＝(3e－a)2ln(3e)≤4e2，

解得3e－

2eln3e≤a≤3e＋

2eln3e由(1)知f′(x)＝(x－a) 2ln x＋1， 令h(x)＝2ln x＋1－，

则h(1)＝1－a<0，h(a)＝2ln a>0，

ax

ax

且h(3e)＝2ln (3e)＋1－

a

3e

3e＋

≥2ln(3e)＋1－

2eln3e3e

＝