2014高考数学一轮汇总训练《导数的实际应用 》理(4)

2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+课后实战题,含详解及2013模拟题)

有g′(x)＝h(x)＜h(x0)＝0，g(x)＞g(x0)＝0；任取x1∈(x，x0)有g(x1)＞0.

又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝e＋ax－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＜ex1＋

x

2

*

ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)＝ax2＋bx＋c，

其中b＝－(e＋f′(x0))，c＝ex1－f(x0)＋x0f′(x0)． 由于a＜0，则必存在x2＜x1，使得ax2＋bx2＋c＜0.

所以g(x2)<0，故g(x)在(x2，x1)内存在零点，即g(x)在R上至少有两个零点． c．若x0<x，仿b并利用e，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．

6

综上所述，当a<0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

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利用导数研究方程根的方法

研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．

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1．设函数f(x)＝ln x－－bx.

21

(1)当a＝b时，求f(x)的最大值；

2

12a

(2)令F(x)＝f(x)＋＋bx＋(0<x≤3)，其图象上任意一点P(x0，y0)处切线的斜率

2x

*

2

x

x3

k≤恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a＝0，b＝－1时，方程2mf(x)＝x有唯一实数解，求正数m的值． 解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 1121

当a＝b＝时，f(x)＝ln x－－x，

242

2

1

2

f′(x)＝－xx22

111－x＋2x－1，

2x

令f′(x)＝0，解得x＝1(x＝－2舍去)．

当0<x<1时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减．

3

所以f(x)的极大值为f(1).

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