2014高考数学一轮汇总训练《导数的实际应用 》理(5)

2014高考数学一轮汇总训练(归纳明确考点+课前自测+教师备选题+课后实战题,含详解及2013模拟题)

3

又因为f′(x)＝0在(0，＋∞)上有唯一解，所以f(x)的最大值为－.

4(2)由题意得F(x)＝ln x＋x∈(0,3]，则

ax

x0－a1

k＝F′(x0)＝2x0∈(0,3]上恒成立，

x02

12 所以a≥ －x0＋x0 max，x0∈(0,3]． 2

1211

当x0＝1时，－x0＋x0取得最大值，所以a≥.

222(3)因为方程2mf(x)＝x有唯一实数解， 所以x－2mln x－2mx＝0有唯一实数解． 设g(x)＝x－2mln x－2mx， 2x－2mx－2m

则g′(x)＝22

2

2

x

令g′(x)＝0，即x－mx－m＝0. 因为m>0，x>0，所以x12

m－m2＋4m

2

舍去)，

x2＝

mm2＋4m

2

.

当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上单调递减；

当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)在(x2，＋∞)上单调递增；当x＝x2时，g′(x2)＝0，g(x)取最小值g(x2)．

gx2＝0，2

因为2mf(x)＝x有唯一实数解，则

g′x2＝0，

2

x2－2mln x2－2mx2＝0，

即 2

x2－mx2－m＝0，

2

所

以2mln x2＋mx2－m＝0.又因为m>0，所以2ln x2＋x2－1＝0.(*)

设函数h(x)＝2ln x＋x－1，当x>0时，h(x)是增函数，所以h(x)＝0至多有一解． 因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1m＋m＋4m

1＝1，解得m

2

[例2] 已知函数f(x)＝e－ax，其中a>0.

(1)若对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立．

[自主解答] (1)f′(x)＝e－a，令f′(x)＝0得

xx