上海市嘉定区2016届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在

②均为容器的纵截面）桌面上（图①、．

（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；

（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】转化思想；数形结合法；立体几何．

【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；

（2）当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt△CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论．

【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，

过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，

在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα， 且点F在线段AD上，AF=30﹣20tanα， 此时容器内能容纳的溶液量为： S梯形ABCF 20=

=（30﹣20tanα+30） 20 10 =2000（6﹣2tanα）（cm3）；

而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm3），

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