广义逆矩阵及其应用

1

第七章

广义逆矩阵及其应用

广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，首先是从线性方程组的求解问题出发的，设有线性方程组

Ax=b （0 — 1）

当A是ｎ阶方阵，且detA≠0时，则方程组（０－１）的解存在、唯一，并可写成

x=Ab （0 — 2）

但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵A往往是奇异方阵或是任意的m×n矩阵（一般m≠n），显然不存在通常的逆矩阵A，这就促使人们去想象能否推广逆的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵G，使得其解仍可以表示为类似于式（0—2）的紧凑形式？即

x=Gb （0 — 3）

1920年摩尔（E. H. Moore）首先引进了广义逆矩阵这一概念，其后三十年未能引起人们重视，直到1955年，彭诺斯（R. Penrose）以更明确的形式给出了Moore的广义逆矩阵的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，由于广义逆矩阵在数理统计、系统理论、最优化理论、现代控制理论等许多领域中的重要应用为人们所认识，因而大大推动了对广义逆矩阵的研究，使得这一学科得到迅速的发展，已成为矩阵的一个重要分支。

本章着重介绍几种常用的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的应用。

§1 矩阵的几种广义逆 1．1

1955年，彭诺斯（Penrose）指出，对任意复数矩阵Amxn，如果存在复矩阵Anxm，满足

广义逆矩阵的基本概念

1

1

AXA=A （1—1） XAX=X （1—2） (AX)H=AX （1—3） (XA)H=XA （1—4）

1

则称X为A的一个Moore—Penrose广义逆，并把上面四个方程叫做Moore—Penrose方程，简称M—P方程。

由于M—P的四个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的X，叫做弱逆。为引用的方便，我们给出如下的广义逆矩阵的定义。

定义1—1 设A∈C

mxn

，若有某个X∈C

mxn

，满足M—P方程（1—1）～（1—4）中的全部

或其中的一部分，则称X为A的广义逆矩阵。

例如有某个X，只要满足式（1—1），则X为A的{1}广义逆，记为X∈A{1}；如果另一个Y满足式（1—1）、（1—2），则Y为A的{1，2}广义逆，记为Y∈A{1,2}；如果X∈A{1,2,3,4}，则X同时满足四个方程，它就是Moore—Penrose广义逆，等等。总之，按照定义1—1可推得，满足1个、2个、3个、4个Moore—Penrose方程的广义逆矩阵共有C4+C4+C4+C4=15种，但应用较多的是以下五种

A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}

以后将会看到，只有A{1,2,3,4}是唯一确定的，其它各种广义逆矩阵都不能唯一确定，每一种广义逆矩阵又都包含着一类矩阵，分述如下；

1．A{1}：其中任意一个确定的广义逆，称作减号逆，或g逆，记为A；

—

1234

2．A{1，2}：其中任意一个确定的广义逆，称作自反广义逆，记为Ar； 3．A{1，3}：其中任意一个确定的广义逆，称作最小范数广义逆，记为Am； 4．A{1，4}：其中任意一个确定的广义逆，称作最小二乘广义逆，记为Ai； 5．A{1，2，3，4}：唯一，称作加号逆，或伪逆，或Moore-Penrose逆，记为A+。

为叙述简单起见，下面我们以Rn及实矩阵为例进行讨论，对于Cn及复的矩阵也有相应结果。

1．2 减号逆A–

（m≤n，当m＞n时，可讨论AT）。若有一个n×m实矩阵（记 定义1—2 设有m×n实矩阵A

为A）存在，使下式成立，则称A为A的减号逆或g逆：

–

–

= A （1 — 5） A A A

–

1

当A得

–1

存在时，显然A

–1

满足上式，可见减号逆A是普通逆矩阵A

––1

的推广；另外，由A A A = A

–

（A A A ）T = AT

–

即

AT（A）T AT = AT

–

（A）T就是AT的一个减号逆。 可见，当A为A的一个减号逆时，

–

–

10

100 100 例1—1 设A=10,B= ,C= 001 ，易知 010 10

ABA=B， ACA=A 故B与C均为A的减号逆。

Ir

例1—2 若 A=

0

证 因为对任意的

0 0 * *

Ir

m×n 则 A=

*

* *

n×m

，其中*是任意的实数。

Ir

*

m×n

n×m

，都有

所以

Ir 00 0 Ir

* * *

n×m

Ir

0 0 0

m×n=

Ir

00 0

m×n

A=

Ir

** *

n×m

X1

反之，任意的X=

X3X2 X4

n×m，若满足

Ir

0

必须有X1=Ir，即X为

0 X1

0 X3X2 Ir

X4 00 Ir

= 0 00

0

Ir

* Ir 0

*

的形状 证毕 *

0

的减号逆存在，而且不是唯一的，填一些数到*位置，就是一个 0

例1—2表明，标准形

减号逆，填不同数，就得到不同减号逆。

1

下面我们讨论当A为非零矩阵时，如何用初等变换的方法来构造它的任意一个减号逆，即讨论A的存在性。

引理 设Bm×n=Pm×mAm×nQn×n ，其中P，Q都是满秩方阵，如果已知B的减 …… 此处隐藏：6753字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……