第2章新 控制系统的数学模型(19)

时间:2025-07-11

沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径称为通路,从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路称为前向通道;起点与终点重合且与任何节点相交不多于一次的通路称为回路。回路中各支路传递函数的乘积,称为回环传递函数,图2-26中回环的传递函数为G(s)H(s);若系统中包括若干个回环,回环间没有任何公共节点者,称为不接触回环。

2.5.2梅荪公式

对于比较复杂的系统,当框图或信号流图的变换和简化方法都显得繁琐费事时,可根据梅荪公式(Mason Rule)直接求取框图的传递函数或信号流图的传输量,梅荪公式为

1n

T Pk k

k 1

式中:T——从源节点至任何节点的传输;

Pk——第k条前向通道的传输;

Δ——信号流图的特征式,是信号流图所表示的方程组的系数行列式,其表达式为

1 L1 L2 L3 ( 1)m Lm

式中:

L——所有不同回环的传输之和;

1

L L

L

2

——任何两个互不接触回环传输的乘积之和; ——任何三个互不接触回环传输的乘积之和; ——任何m个互不接触回环传输的乘积之和;

3

m

k——余因子,即第k条前向通道的余因子,即对于信号流图的特征式,将与第k条前向通

道接触的回环传输代以零值,余下的Δ即为Δk。

梅荪公式的推导可参阅有关文献。

例2-13 图2-27所示的低通滤波网络可以表示为图2-28所示的信号流图,试求传递函数

Uo(s)

Ui(s)

RRs)

)

图2-27 低通滤波网络

图2-28 网络的信号流程

解 此系统有三个回环,即

111

、 、 ,因此 R1C1sR2C1sR2C2s

L1

111

R1C1sR2C1sR2C2s

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