第2章新 控制系统的数学模型(5)

作用时产生的响应之和。

均匀性 均匀性也称为齐次性，线性系统具有均匀性，就是说当加于同一线性系统的外作用数值增大几倍时，则系统的响应亦相应地增大几倍。

在线性系统分析中，线性系统的叠加性和齐次性是很重要的。

2.2 非线性系统及其数学模型的线性化

2.2.1 非线性系统

本章第一节讨论的元件和系统，假设都是线性的，因而，描述它们的数学模型也都是线性微分方程。系统或元件的输出与输入间的关系不满足叠加原理及均匀性原理的，称为非线性系统或元件。事实上，任何一个元件或系统总是存在一定程度的非线性。例如，弹簧的刚度与其形变有关，并不一定是常数；电阻R、电感L、电容C等参数值与周围环境（温度、湿度、压力等）及流经它们的电流有关，也不一定是常数；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程等等。严格地说，实际系统的数学模型一般都是非线性的，而非线性微分方程没有通用的求解方法。因此，在研究系统时总是力图将非线性问题在合理、可能的条件下简化为线性问题处理。如果做某些近似或缩小一些研究问题的范围，可以将大部分非线性方程在一定的工作范围内近似用线性方程来代替，这样就可以用线性理论来分析和设计系统。虽然这种方法是近似的，但它便于分析计算，在一定的工作范围内能反映系统的特性，在工程实践中具有实际意义。

判别系统的数学模型微分方程是否是非线性的，可视其中的函数及其各阶导数，如出现高于一阶的项，或导数项的系数是输出变量的函数，则此微分方程是非线性的。

机械系统中常见的一些非线性特性举例如下：

传动间隙 由齿轮及丝杠螺母副组成的机床进给传动系统中，经常存在有传动间隙 （图2.2.1)，使输入转角Xi和输出位移X0间有滞环关系。只有消除了传动间隙，Xi与X0才具有线性关系。

死 区 在死区范围内，有输入而无输出动作。负开口液压伺服阀具有典型死区特性，如图2.2.2所示。

图2-5传动间隙 图2-6死区

摩擦力 机械滑动运动副，如机床滑动导轨运动副、主轴套筒运动副、活塞液压缸运动副等，在运动中都存在摩擦力。若假定为干摩擦力（也称库伦摩擦力），如图2-5所示。其大小为f，方向总是和速度x 的方向相反。实际上，运动副中的摩擦力与运动速度大小及其方向有关，如图2-6所示。