第2章新 控制系统的数学模型(6)

图中曲线可大致分为起始点的静动摩擦力、低速时混合摩擦力（摩擦力呈下降特性），以及粘性摩擦力（摩擦力随速度的增加而增加）。

由以上各种非线性性质可以看出，在工作点附近存在着不连续直线、跳跃、折线，以及非单值关系等严重非线性性质的，称为本质非线性性质。在建立数学模型时，为得到线性方程，只能略去这些因素，得到近似解。若这种略去及近似带来的误差较大，那就只能用复杂的非线性处理方法来求解了。

不是像以上所说的严重非线性性质，称为非本质非线性性质。对于这种非线性性质，就可以在工作点附近用切线来代替。这时的线性化只有变量在其工作点附近作微小变化，即变量发生微小偏差时，误差才不致太大。非线性微分方程经线性化处理后，就变成线性微分方程了，可以采用普通的线性方法来分析和设计系统。因而这种近似方法，给我们带来了很大的方便。

图2-7 干摩擦力

2.2.2 线性化方法--泰勒级数展开法

图2-8 粘性摩擦力

通常系统在正常工作时，都有一个预定工作点，即系统处于这一平衡位置。当系统受到扰动后，系统变量就会偏离预定点，也就是系统变量产生了不大的偏差。自动调节系统将进行调节，力图使偏离的系统变量达到平衡位置。因此，只要非线性函数的这一变量在预定工作点处有导数或偏导数存在，就可以在预定工作点附近将此非线性函数展成泰勒级数。

对于非线性函数f（x）及f（x，y），假定系统的预定工作点为0，在该点附近将函数展成泰勒级数，并认为偏差是微小量，因而略去高于一次微增量的项，所得到的近似线性函数如下

f(x) f(x0) (f(x,y) f x0,y0 (

df

)0 x （2-8）

dx

f f

（2-9） )0 x (()0 y

x y

以上两个式中减去静态方程式，得以增量表示的方程为

f(x) (

df

（2-10） )0 x)

dx

f f

)0 x (()0 y （2-11） x y

f(x,y) (

式（2-10）及（2-11）就是非线性函数的线性化表达式。在应用中需注意以下几点： （1）式中的变量不是绝对量，而是增量。公式称为增量方程式。