第2章新 控制系统的数学模型

第2章 控制系统的数学模型

控制系统的数学模型，是描述系统输入、输出以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立描述控制系统的数学模型，是控制理论分析与设计的基础。一个系统，无论它是机械的、电气的、热力的、液压的、还是化工的等都可以用微分方程加以描述。对这些微分方程求解，就可以获得系统在输入作用下的响应（即系统的输出）。对数学模型的要求是，既要能准确地反映系统的动态本质，又便于系统的分析和计算工作。

建立控制系统的数学模型，一般采用解析法和实验法两种。解析法是对系统各部分的运动机理进行分析，根据所依据的物理规律或化学规律（例如，电学中有克希荷夫定律、力学中有牛顿定律、热力学中有热力学定律等）分别列写相应的运动方程。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录其响应，按照物理量随时间的变化规律，用适当的数学模型去逼近，这种方法又称为系统辨识。近些年来，系统辨识已发展成一门独立的学科分支。本章主要采用解析法建立系统的数学模型。

数学模型有多种形式。时域中常用的数学模型有微分方程、差分方程和状态方程；复域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性等。本章只研究微分方程、传递函数和结构图等数学模型的建立及应用。

2.1 物理系统动态描述

微分方程是在时域中描述系统(或元件)动态特性的数学模型，利用它可以得到描述系统（或元件)动态特性的其他形式的数学模型。这里主要运用机理建模法对常见的机械、电气等物理系统建立其数学模型。

2.1.1列写微分微分方程的一般方法

列写系统或元件的微分方程，目的在于确定系统输入量与输出量之间的数学关系，而系统由元件组成。用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：

⑴ 根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输入、输出变量；

⑵ 从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程，一般为微分方程组；

⑶ 消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；

⑷ 将微分方程标准化，即将与输入有关的各项放在等号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，各阶导数项按降幂排列。

2.1.2机械系统的微分方程

机械系统的微分方程可以运用牛顿定律进行推导。下面通过举例说明机械系统微分方程的求取方法。

1. 机械系统微分方程

例2-1设有一个由弹簧、质量、阻尼器组成的机械平移系统，如图2-1所示。试列写出系统的数学