第2章新 控制系统的数学模型(9)

Xo(s)与输入xi(t)的Laplace变换Xi(s)之比，称为线性定常系统的传递函数G(s)。

由此可得：

X0(s)bmsm bm 1sm 1 b1s b0

G(s) (n m)

Lxi(t)Xi(s)ansn an 1sn 1 a1s a0

则

L x0(t)

X0(s) G(s)Xi(s)

传递函数是在零初始条件下定义的。零初始条件有以下两方面含义：一是指输入作用是在t 0以后才作用于系统，因此，系统输入量及其各阶导数在 t 0 时均为零；二是指输入作用于系统之前，系统是“相对静止”的，即系统输出量及各阶导数在 t 0 时的值也为零。大多数实际工程系统都满足这样的条件。零初始条件的规定不仅能简化运算，而且有利于在同等条件下比较系统性能。所以，这样规定是必要的。

例2-6 求图2-1所示机械平移系统的传递函数。 解 已知该系统的微分方程是式（2-1）,即

md2（yt）fdy(t)1

y(t) F(t)

Kdt2KdtK

设初始条件为零，对上式进行拉氏变换得

m2f1sY(s) sY(s） Y(s) F(s) KKK

由定义可得机械平移系统的传递函数为

G s

Y(s)1/K

（2-17）

mfF(s)s2 s 1KK

2.3.2 传递函数的性质

由线性定常系统传递函数的定义可以分析得知，传递函数具有下列性质：

1、系统（或元件）的传递函数，是一种描述其动态特性的数学模型，它和系统（或元件）的运动方程式一一对应。若给定系统（或元件）的运动方程式，则可确定与之相对应的传递函数。

2、传递函数是复变量s的有理真分式函数，s j ，其中 为实部，j 为虚部。分子的阶数m低于分母的阶数n，且所有系数均为实数。m n，这是由于物理系统具有惯性的缘故；各系数均为实数，是因为它们都是系统元件参数的函数，而元件参数只能是实数。

3、传递函数只与系统（或元件）本身内部的结构有关，与输入信号和初始条件无关。即传递函数只表征系统（或元件）本身的特性。

4、一定的传递函数有一定的零点、极点分布图与之对应，因此传递函数的零点、极点分布图也表征了系统的动态特性。将传递函数定义式中的分母、分子多项式分解后，可以得到下式：

G(s)

Xo(s)(s z1)(s z2) (s zm) K

Xi(s)(s p1)(s p2) (s pn)