第2章新 控制系统的数学模型(7)

时间:2025-07-11

(2)预定工作点(额定工作点),若看作是系统广义坐标的原点,则有x0=0,y0=0,f(x0,y0)=0,Δx=x-x0,Δy=y-y0=y,因而式(2-10)、(2-11)中的Δ去掉,增量可写为绝对量,公式中的变量为绝对量了。

(3)若预定工作点不是系统冠以坐标的原点,这是普遍的情况。又系统的非线性微分方程f(x)=f1(x)+f2(x)(假定变量只有一个x)中仅f2(x)为非线性项,那么当把f2(x)应用式(2-10)线性化后,由于f2(x)成为增量式子,则f(x)及f1(x)也必须把其中的变量改为增量,以组成系统的线性化微分方程。

(4)当增量并不很小,在进行线性化时,为了验证容许的误差值,需要分析泰勒公式中的余项。 例2-5 铁芯线圈如图2-9(a)所示。试列写以电压ur为输入,电流i为输出的铁芯线圈的微分方程。

解 根据克希荷夫定律有

ur u1 Ri (2-12)

式中,u1为线圈的感应电势,它正比于线圈中磁通变化率,即

u1 K1

d (i)

(2-13) dt

式中,K1为比例常数。铁芯线圈的磁通是线圈中电流i的非线性函数,如图2-9(b)所示。将式(2-12)代入式(2-13)得 K1

d (i)di

Ri ur (2-14)

didt

R

显然这是一个非线性微分方程。

0

(a) 铁芯线圈原理图 (b)磁通与线圈电流关系

图2-9 铁芯线圈及磁通 (i)曲线

如果在工作过程中,线圈的电压、电流只在平衡工作点(u0,i0)附近作微小的变化, (i)在i0

的邻域内连续可导,则在平衡点i0邻域内,磁通 可表示成泰勒级数,即

d

0

di

1d2 i

2!di2i0

( i)2

i0

式中, i=i i0,当 i“足够小”时,略去高阶项,取其一次近似,有

0

式中,

d di

i0

i

d di

i0

为平衡点i0处 (i)的导数值,令它为C1,则有

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