第2章新 控制系统的数学模型(8)

0 C1 i

0 C1 i

上式表明，经小扰动线性化处理后，线圈中电流增量与磁通增量之间已经近似为线性关系了。 将式（2-14）中ur， ，i均表示成平衡点附近的增量方程，即

ur u0 uri i0 i

0 C1 i

将上述三式代入方程(2-14)，消去中间变量并整理，可得 K1C1

d i

R i ur dt

（2-15）

式（2-15）就是铁芯线圈的线性化增量微分方程。在实际使用中，为简便起见，常常略去增量符号而写成

K1C1

di

Ri ur dt

（2-16）

但必须明确，ur和i均为相对于平衡工作点的增量（小变化量），而不是本身的真正值。

2.3 系统的传递函数

控制系统的微分方程，是在时间域内描述系统动态性能的数学模型。通过求解描述系统的微分方程，可以把握其运动规律。但计算量繁琐，尤其是对于高阶系统，难以根据微分方程的解，找到改进控制系统品质的有效方案。在Laplace变换的基础上，引入描述系统线性定常系统（或元件）在复数域中的数学模型——传递函数，不仅可以表征系统的动态特性，而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，都是在传递函数基础上建立起来的。本节首先讨论传递函数的基本概念及其性质，在此基础上介绍典型环节的传递函数。 2.3.1 传递函数的定义

设有线性定常系统，若输入为xi(t)，输出为xo(t)，则系统微分方程的一般形式为

dnx0(t)dn 1x0(t)dmxi(t)dm 1xi(t)

an an 1 a0x0(t) bm bm 1 b0xi(t) nn 1mm 1

dtdtdtdt

式中：n≥m; an, bm (n ,m = 0,1,2, ……)均为实数。

在零初始条件下，即当外界输入作用前，输入、输出的初始条件xi(0)，xi(0)，…，xi

和xo(0)，xo(0)，…，xi

(1)

(n 1)

(1)

(m 1)

(0 )

(0 )均为零时，对上式作Lap1ace变换可得：

(ansn an 1sn 1 a1s a0)X0(s) (bmsm bm 1sm 1 b1s b0)Xi(s)

在外界输入作用前，输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统的输出xo(t)的Laplace变换