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jπk

e2sin2kπ 3

ak= 6sinkπ

6

2

k=0

3

1≤k≤5

X(e

jω

)=2π

2π

akδ ω k N=6

N k= ∞

∑

∞

（2）

∞

2π 1 kπ2kπ jω

k N=6 2cosak= 1+4cos X(e)=2π∑akδ ω N6 33 k= ∞

（4）

x[n]=cos(

2πn2πn

)+sin()， 33

∞

2πn2π2π FTcos(← →π∑ δ(ω 2kπ)+δ(ω+ 2kπ) ，

333 k= ∞

2πnπFT

sin()← →

3j

2π2π

δ(ω 3 2kπ) δ(ω+3 2kπ) ，

k= ∞

∑

∞

∞

故有，X(e

jω

)=π

2π2π

(1j)δ(ω2kπ)(1j)δ(ω +++ 2kπ) ∑

33 k= ∞

4.10 利用傅里叶变换的性质，求下列信号的频谱 （1）

sin(πn/3)sin(πn/4)

； （2）(n+1)an u[n],a<1 πnπn

（3）如图4－34所示三角形脉冲

解： （1）

π

1ω<sin(πn/3)F

← →X1(ejω)= 3(一个周期内）πn 0else

π

sin(πn/4)F 1ω<jω

← →X1(e)= 4(一个周期内）πn 0else

矩形窗函数

矩形窗函数

由傅里叶变换得乘积性质：x[n] y[n]← →

F

1

2π

∫2πX(e

jθ

)Y(ej(ω θ))dθ

π 1ω< 412

ω 7sin(πn/3)sin(πn/4)F1ππ7πjθj(ω θ)

()()θω得：XeXed ← →= << 12

πnπn2π∫ π242π1212

7π

012<ω<π

（2）因为au[n]← →

nF

11 ae jω

dX(ejω)

,a<1 频域微分性质nx[n]← →j

dω

F