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1

2ak k为偶数

当x[n]的周期N为奇数时，有bk= 。

1

(ak+a(k＋N)2) k为奇数 2

4.12某一序列满足以下关系：

（1）x[n]为实偶信号； （2）x[n]有周期N＝10和傅里叶系数ak （3）a11=5 （4）∑x[n]=500

n=09

2

证明x[n]=Acos(Bn+C)，并确定常数A、B、C的值。 证明：

因为 x[n]是实偶信号 所以ak为实且偶

n=0

∑ak

9

2

192=x[n]=50 ∑10n=0

a11=5 a11=a1=a 1=a9=5

22

a1+a9=50 所以 a0=a2=L=a8=0

9

jk2π

n10

πj5

j9π5

πjn5

π jn+5e5

所以 x[n]=

k=0

∑ake

π5

=5e+5e=5e

π

=10cos n

5

A=10B=C=0

4.13 已知x[n]← →X(ejω)，利用傅里叶变换性质，用X(ejω)表示下列信号的频谱 （1）x1[n]=x[1 n]+x[ 1 n] （2）x1[n]=x[ n] cosω0nx*[ n]+x[n]

（3）x1[n]= （4）x1[n]=(n 1)2x[n]

2

0<ω<π

F

解：

（1）由x[ n]← →X(e jω) x[n n0]← →e jωnX(ejω)

所以x1[n]=x[1 n]+x[ 1 n]← →X(e jω)e jω+ejω=2cosωX(e jω) （2）由x[ n]← →X(e jω) x[n]cosω0n← →所以x1[n]=x[ n] cosω0n← →

F

F

F

F

F

F

F

()

1

X(ej(ω ω0))+X(ej(ω+ω0)) 2

()

1

X(e j(ω ω0))+X(e j(ω+ω0)) 2

F

()

（3）由x[ n]← →X(e jω) x*[n]← →X*(e jω)

x*[ n]+x[n]F1*jω

x1[n]=← →X(e)+X(ejω)=Re{X(ejω)}

22

[]