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3 1 sin πn sin πn

8 8 n

所以 x[n]= ++ (1(1)) πnπn

方法二：将X(ejω)看成是两个函数X1(ejω)和X2(ejω)的叠加，X1(ejω)和X2(ejω)又可以，由看成是抽样函数X11(ejω)（W=6π/8）和X21(ejω)（W=2π/8）在频域上的压缩（2倍）时域扩展性质，等价于信号时域的扩展。由此得到结论。

6

sin πn

F 1 8

X11(ejω)← →x11[n]=

nπ

X1(ejω)=X11(ej2ω)

所以：

x[n/2]n为2的整数倍

x1[n]=x11(2)[n]= 11

0n不为2的整数倍

3 sin πn

8

= 2 n为2的整数倍

πn 0n不为2的整数倍

x2[n]依此类推，x[n]=x1[n]+x2[n]

4.7 已知~x[n]是周期为N的周期信号，x[n]是从~x[n]中任意截取一个周期所得到的非周期信号，假设~x[n]的傅里叶级数系数为ak，x[n]的傅里叶变换为X(ejω)，证明：

ak=

1

X(ejω)

2πNω=N

证明：

X(e

jω

)=

n= ∞

∑x[n]e jωn

1

=N

∞

1ak=

N

n=<N>

∑

2π jk n

~x[n]e N

n=<N>

∑

2π

jk n

x[n]e N

1=N

n= ∞

∑

∞

2π jk n

x[n]e N

=

1

X(ejω)

2πNω=k

N

证毕

4.8设X(ejω)是图4-33所示的x[n]的傅里叶变换，不经求出X(ejω)完成下列计算 （1）求X(ej0) （2）求∫

π

π

X(ejω)dω

（3）求X(ejπ) （4）求并画出傅里叶变换为ReX(ejω)的信号

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