初中数学竞赛知识点(21)

全面的初中数学竞赛知识点讲解

逆命题：中国的一个省是福建 （假命题）

但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如

原命题：中国的首都是北京 （真命题）

逆命题：北京是中国的首都 （真命题）

因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如 原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）

逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）

因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。

3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：

① 作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）

② 证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）

三十四、反证法

1. 反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题

不易直接证明时，釆取证明它的逆否命题。

2. 一个命题和它的逆否命题是等价命题，可表示为：A→B

例如 原命题：对顶角相等 (真命题)

逆否命题：不相等的角不可能是对顶角 (真命题)

又如 原命题：同位角相等，两直线平行 (真命题)

逆否命题：两直线不平行，它们的同位角必不相等 (真命题)

3. 用反证法证明命题，一般有三个步骤：

① 反设 假设命题的结论不成立（即假设命题结论的反面成立）

② 归谬 推出矛盾（和已知或学过的定义、定理、公理相矛盾）

③ 结论 从而得出命题结论正确

例如： 求证两直线平行。用反证法证明时

① 假设这两直线不平行；

② 从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

③从而肯定，非平行不可。

三十五、两种对称

1. 轴对称和中心对称定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重

合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴

把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关

于这点对称，这点叫做对称中心

2. 轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴

一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。

3. 性质：①成轴对称或中心对称的两个图形是全等形